几何分布
以抛硬币为例:抛到正面则继续抛,抛到不是正面为止,记录这时抛硬币的次数X。假设出现正面的概率为
p
p
p,那么非正面概率为
1
−
p
1-p
1−p。发生抛k次事件的概率为:
P
{
X
=
k
}
=
p
k
−
1
(
1
−
p
)
P\{X=k\}=p^{k-1}(1-p)
P{X=k}=pk−1(1−p)
求几何分布的期望
根据离散概率分布的期望公式计算
E
[
X
]
=
∑
ζ
P
{
X
=
ζ
}
E[X]=\sum \zeta P\{X=\zeta\}
E[X]=∑ζP{X=ζ}得到几何分布的期望为
E
[
X
]
=
∑
k
=
1
∞
k
P
{
X
=
k
}
=
∑
k
=
1
∞
k
p
k
−
1
(
1
−
p
)
=
1
−
p
p
∑
k
=
1
∞
k
p
k
E[X]=\sum_{k=1}^{\infty} kP\{X=k\}=\sum_{k=1}^{\infty} kp^{k-1}(1-p)=\frac{1-p}{p}\sum_{k=1}^{\infty} kp^k
E[X]=k=1∑∞kP{X=k}=k=1∑∞kpk−1(1−p)=p1−pk=1∑∞kpk下面来计算后面求和部分,先来计算有限次求和,再对其求极限
A
=
∑
k
=
1
n
k
p
k
A=\sum_{k=1}^{n} kp^k
A=k=1∑nkpk构造错位项
p
A
=
∑
k
=
1
n
k
p
k
+
1
pA=\sum_{k=1}^{n} kp^{k+1}
pA=k=1∑nkpk+1两式相减得
(
1
−
p
)
A
=
∑
k
=
1
n
p
k
−
n
p
n
+
1
=
p
(
1
−
p
n
)
1
−
p
−
n
p
n
+
1
(1-p)A=\sum_{k=1}^{n} p^{k}-np^{n+1}=\frac{p(1-p^n)}{1-p}-np^{n+1}
(1−p)A=k=1∑npk−npn+1=1−pp(1−pn)−npn+1所以得到
A
=
p
(
1
−
p
n
)
(
1
−
p
)
2
−
n
p
n
+
1
1
−
p
A=\frac{p(1-p^n)}{(1-p)^2}-\frac{np^{n+1}}{1-p}
A=(1−p)2p(1−pn)−1−pnpn+1对有限求和取极限
∑
k
=
1
∞
k
p
k
=
lim
n
→
∞
p
(
1
−
p
n
)
(
1
−
p
)
2
−
n
p
n
+
1
1
−
p
=
p
(
1
−
p
)
2
\sum_{k=1}^{\infty} kp^k=\lim_{n\to \infty}\frac{p(1-p^n)}{(1-p)^2}-\frac{np^{n+1}}{1-p}=\frac{p}{(1-p)^2}
k=1∑∞kpk=n→∞lim(1−p)2p(1−pn)−1−pnpn+1=(1−p)2p计算得到几何分布的期望
E
[
X
]
=
1
−
p
p
p
(
1
−
p
)
2
=
1
1
−
p
E[X]=\frac{1-p}{p} \frac{p}{(1-p)^2}=\frac{1}{1-p}
E[X]=p1−p(1−p)2p=1−p1
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